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Hola mis estimados!

Les envío la dirección del lugar donde dejaré los documentos de apoyo

http://www.udec.cl/~favaldes

También estará en la sección "Documentos y Enlaces"

Que estén muy bien!

Proporcionalidad Compuesta

Cuando tenemos una situación donde están involucradas más de dos variables y se presentan relaciones de proporcionalidad entre pares de ellas (ya sea proporcionalidad directa o inversa), nos enfrentamos a una situación donde observamos proporcionalidad compuesta.

Ejemplo:

Los operarios de un taller, trabajando 8 horas diarias, han necesitado 5 días para fabricar 1.000 piezas. ¿Cuántos días tardarán en hacer 3.000 piezas trabajando 10 horas diarias?

Resolvamos el problema:

Sea x el número de días trabajados para hacer 3.000 piezas trabajando 10 horas diarias.

Tabulemos la información de acuerdo a las tres variables que se observan, dajando a la variable de la incógnita x en la columna del centro:

¿Qué podemos observar?

Las Variables "Nº de piezas fabricadas" y "Días trabajados" son D.P, mientras que las variables "Días trabajados" y "Horas de trabajo diario" son I.P.

Hay varias fomas de resolver este problema, pero pensemos de la siguiente forma:

"Si los operarios del taller quieren fabricar 1000 piezas trabajando 8 hrs. al día se demorarán 5 días. Luego, si quieren fabricar 1000 piezas trabajando 10 hrs. al día, se demorarán 4 días (¿por qué?). Ahora, como se que para fabricar 1000 piezas trabajando 10 hrs. al día se demoran 4 días, para fabricar 3000 piezas se demorarán el triple (¿por qué?), es decir 3·4 días.

Por lo tanto, los operario se demorarán 12 días en fabricar 3000 piezas trabajando solo 8 hrs. diarias

El procedimiento para resolver este problema se enseña "de memoria" pero tiene una justificación. *Quien quiera indagar en el tema pregunta en forma personal*

Variables INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Construyendo una pieza

Juan está construyendo una pieza de 2,40 mts de ancho por 3 mts de largo. Decidió que el piso lo hará de tablas de pino.
Fue a una barraca y observó que las todas las tablas medían 3 mts de largo, pero había de varios anchos: 6, 8, 10, 12 y 20 cms.

Determinemos cuántas tablas son necesarias para cubrir el piso, de acuerdo a los distintos anchos. Tabulemos la información:

Ahora investiguemos y tratemos de establecer alguna relación entre las variables A y T

¿Qué podemos afirmar?

• Se puede decir con toda seguridad que las variables A y T No son directamente proporcionales (¿por qué?).
  
• Se puede decir que, para cada caso, se cumple que A·T = 240 cms ( o 2,4 mts), que es el ancho de la pieza de Juan
  

Definición:

Diremos que dos variables son inversamente proporcionales (I.P) cuando al aumentar una de ellas la otra disminuye, pero además se mantiene constante el PRODUCTO entre los respectios valores de las variables.

¿Qué podemos afirmar con esta definición ?

Podemos decir con seguridad que las variables A y T son Inversamente proporcionales, ya que el producto de ellas, para cada caso (anchos de la tabla) es constante, en efecto: para cada caso se cumple que,

A · T = 240 cms

Ejemplos de magnitudes Inversamente Proporcionales:

1. Un tren se desplaza con rapidez constante de 50 kms/h y debe recorrer un trayecto de 500 kms, entonces se demorará 10 hrs. Por lo tanto, si el maquinista quisiera hacer el mismo trayecto, pero en solo 5 hrs, debería viajar a una velocidad de 100 km/h
2. Si un objeto se desplaza con rapidez constante V, y recorre cierta distancia d en un tiempo t, se puede establecer que V es Inversamente Proporcional a t. (¿por qué?, Recorar que v=d/t)
3. Un pintor se demora 3 días en pintar una pared, si se tienen tres pintores entonces el trabajo lo realizarán en un solo día. ¿cuántos pintores serán necesarios para pintar el muro en 1/2 día?

Variables DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Las galletas de la Señora Clotilde

La Señora Clotilde es dueña de casa, conocedora de una receta de exquisitas galletas que por muchas generaciones ha deleitado los paladares de su familia.

Ella ha ideado crear una pequeña empresa para la fabricación de las galletas que tanto gustan.

La receta consta de varios ingredientes. El más caro de ellos es la harina por lo que la Señora Clotilde se ha preocupado de hacer un estudio tratando de relacionar la cantidad de galletas horneadas con la cantidad de harina necesaria para fabricarlas, y con la cantidad de dinero total invertido en la preparación de ellas, para poder tener una idea de cuánto deberá gastar por galleta y así fijar un precio razonable que le permita obtener ganancias. Para tal fin, la Señora Clotilde hizo varios experimentos.

Cada día, durante una semana, horneó 50 galletas más que el día anterior y anotó cuanta harina gastó para cada horneada de galletas. También registró cada día el dinero total invertido en la preparación de ellas.
En la cantidad de dinero invertido se incluyen los costos de los demás ingredientes de la receta, gas para lcalentar el horno, y otros.

Por lo tanto la Señora Clotilde, observó las variables: cantidad de galletas horneadas (G), la cantidad de harina empleada (H) y el dinero gastado en la elaboración de las galletas (D). Estos datos los ordenó y anotó en la siguiente tabla.

La Señora Clotilde quiso determinar cuanta harina sería necesaria para fabricar 2.000 galletas que se propuso hornear, cantidad mínima para la comercialización de galletas.
Comparó las variables G y H mediante la suma, la diferencia, el producto y el cociente entre cada par de datos de la tabla para tratar de encontrar alguna relación entre las variables que pudiese ayudarle a determinar la cantidad de harina necesaria para las 2.000 galletas.

La Señora Clotilde observó que ni la suma, ni la diferencia, ni el producto de las variables G y H resultaban ser valores constantes o fáciles de predecir.

Sin embargo, le interesó el hecho de que el cociente entre los valores de G y H para cada día era CONSTANTE y de valor 100. Supuso entonces que si las condiciones y comportamientos de las variables para fabricar las galletas se mantenían; la RAZON entre 2.000 galletas y la cantidad de harina (en Kg) necesaria para fabricarlas se mantendría constante y el valor de esta razón seguiría siendo 100 galletas/Kg.

Por lo tanto llamó x a la cantidad de harina necesaria para las 2.000 galletas, tomó una razón de valor 100 y formó la proporción:

Como se trata de una proporción (¿por qué?) se cumple que el producto de los medios es igual al de los extremos.

Por lo tanto:

x = 20 kg

La Señora Clotilde, asumiendo que la razón entre la cantidad de galletas y la cantidad de harina en kg necesaria para fabricarlas se mantiene constante, dedujo entonces que para fabricar las 2000 galletas es necesario 20 kg de harina.

Definición

Diremos que dos variables son directamente proporcionales (D.P) cuando la razón (o cuociente) entre sus valores respectivos es constante SIEMPRE.

Ejemplos de magnitudes directamente proporcionales:

1. La cantidad de dinero que se debe pagar al comprar pan es directamente proporcional al precio del pan, siempre y cuando el panadero no haga rebajas. Si el Kg de pan cuesta $600, por dos Kg se pagará $1200. ¿ y por 3 kg?, ¿y por 1/2 kg?


2. El perímetro (C) de una circunferencia y su radio (r) son directamente proporcionales, pues como sabemos C = 2π·r. Luego siempre se cumple que C/r = 2π. ¿Será cierto que C es D.P a el diámetro?

Razones y Proporciones

¿Qué es una Razón entre dos cantidades?

Si en un curso existe un total de 42 alumnos, de los cuales 10 son mujeres y 32 hombres, podemos comparar estas cantidades de personas de diversas formas:

• De un total de 42 alumnos, 10 son mujeres
• De un total de 42 alumnos, 32 son hombres
• Existe una diferencia de 22 personas entre las cantidades de hombres y mujeres, a favor de los hombres
• Por cada 5 mujeres hay 16 hombres en el curso
• El cuociente entre la cantidad de mujeres y la de hombres es 0,3125
• Por cada hombre hay 0,3125 mujeres (¿qué sentido tiene esto?, ¿cómo se interpreta?)
  
  Ahora ustedes. Completen :

El cuociente entre la cantidad de hombres y mujeres es ____
Por cada 16 hombres hay ___ mujeres en el curso
El cuociente entre la cantidad hombres y la de mujeres es ____
Por cada mujer hay ____ hombres (¿qué sentido tiene esto?, ¿cómo se interpreta?)

Definición:

Una RAZÓN es una compración entre dos cantidades por medio del cuociente entre ellas. Si las cantidades son a y b, se puede escribir la razón entre a y b (en ese orden) como a:b ó a/b

Que se lee " a es a b"

¿Qué es una Proporción?

Atención a los siguientes ejemplos:

1:2 y 2:4 forman una proporción, pero 1:3 y 2:4 No

3:4 y 6:8 forman una proporción, pero 3:4 y 5:8 No

Tenemos una proporción cuando tenemos una igualdad de dos razones.

(Pregunta: ¿Cuándo dos razones son iguales?)

Definición:

Una PROPORCIÓN es una igualdad entre dos razones. Si las las razones son a:b y c:d que forman una proporcion, entonces se escribe esta proporción como

a:b = c:d

Que se lee " a es a b como c es a d"

A los números a y d se les llama extremos y a los números b y c se les llama medios

Propiedad fundamental de las Proporciones:

En una proporción se cumple SIEMPRE que el producto de los extremos es igual al de los medios.

En las proporciónes siguientes identifica el valor que debe tener x e identifica extremos y medios de la proporción:

x/3 = 4/6

1/3=x/27

2:3=3:x

Bienvenidos alumnos del 1º B

Sean todos muy bienvenidos a este blog en el que discutiremos los temas matemáticos de los reforzamientos.

Un abrazo

Prof. Fabricio