Variables DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Las galletas de la Señora Clotilde

La Señora Clotilde es dueña de casa, conocedora de una receta de exquisitas galletas que por muchas generaciones ha deleitado los paladares de su familia.

Ella ha ideado crear una pequeña empresa para la fabricación de las galletas que tanto gustan.

La receta consta de varios ingredientes. El más caro de ellos es la harina por lo que la Señora Clotilde se ha preocupado de hacer un estudio tratando de relacionar la cantidad de galletas horneadas con la cantidad de harina necesaria para fabricarlas, y con la cantidad de dinero total invertido en la preparación de ellas, para poder tener una idea de cuánto deberá gastar por galleta y así fijar un precio razonable que le permita obtener ganancias. Para tal fin, la Señora Clotilde hizo varios experimentos.

Cada día, durante una semana, horneó 50 galletas más que el día anterior y anotó cuanta harina gastó para cada horneada de galletas. También registró cada día el dinero total invertido en la preparación de ellas.
En la cantidad de dinero invertido se incluyen los costos de los demás ingredientes de la receta, gas para lcalentar el horno, y otros.

Por lo tanto la Señora Clotilde, observó las variables: cantidad de galletas horneadas (G), la cantidad de harina empleada (H) y el dinero gastado en la elaboración de las galletas (D). Estos datos los ordenó y anotó en la siguiente tabla.

La Señora Clotilde quiso determinar cuanta harina sería necesaria para fabricar 2.000 galletas que se propuso hornear, cantidad mínima para la comercialización de galletas.
Comparó las variables G y H mediante la suma, la diferencia, el producto y el cociente entre cada par de datos de la tabla para tratar de encontrar alguna relación entre las variables que pudiese ayudarle a determinar la cantidad de harina necesaria para las 2.000 galletas.

La Señora Clotilde observó que ni la suma, ni la diferencia, ni el producto de las variables G y H resultaban ser valores constantes o fáciles de predecir.

Sin embargo, le interesó el hecho de que el cociente entre los valores de G y H para cada día era CONSTANTE y de valor 100. Supuso entonces que si las condiciones y comportamientos de las variables para fabricar las galletas se mantenían; la RAZON entre 2.000 galletas y la cantidad de harina (en Kg) necesaria para fabricarlas se mantendría constante y el valor de esta razón seguiría siendo 100 galletas/Kg.

Por lo tanto llamó x a la cantidad de harina necesaria para las 2.000 galletas, tomó una razón de valor 100 y formó la proporción:

Como se trata de una proporción (¿por qué?) se cumple que el producto de los medios es igual al de los extremos.

Por lo tanto:

x = 20 kg

La Señora Clotilde, asumiendo que la razón entre la cantidad de galletas y la cantidad de harina en kg necesaria para fabricarlas se mantiene constante, dedujo entonces que para fabricar las 2000 galletas es necesario 20 kg de harina.

Definición

Diremos que dos variables son directamente proporcionales (D.P) cuando la razón (o cuociente) entre sus valores respectivos es constante SIEMPRE.

Ejemplos de magnitudes directamente proporcionales:

1. La cantidad de dinero que se debe pagar al comprar pan es directamente proporcional al precio del pan, siempre y cuando el panadero no haga rebajas. Si el Kg de pan cuesta $600, por dos Kg se pagará $1200. ¿ y por 3 kg?, ¿y por 1/2 kg?


2. El perímetro (C) de una circunferencia y su radio (r) son directamente proporcionales, pues como sabemos C = 2π·r. Luego siempre se cumple que C/r = 2π. ¿Será cierto que C es D.P a el diámetro?